上同调理论：从基础到应用
一、引言
在拓扑学和代数的交叉领域中，上同调理论扮演着至关重要的角色。Sullivan理论为每个拓扑空间关联了一个“极小”的(\mathbb{Q}) - 微分代数，这一定义在同构意义下确定，并刻画了该拓扑空间的有理同伦类型。而本文的目标是构建一个通用的框架，以便在一个交换基环 (k)（不一定是域）上构造这样的上链代数。
我们从单纯框架入手。单纯集是由一系列集合 (X_n)（(n) 为非负整数）组成，配备了面映射 (d_i: X_n \to X_{n - i})（(0 \leq i \leq n)，(n \geq 1)）和退化映射 (s_i: X_n \to X_{n + i})（(0 \leq i \leq n)，(n \geq 0)），满足通常的关系。(X_n) 中的元素被称为 (X) 的 (n) - 单形。
对于任意单纯集 (X) 和阿贝尔群 (G)，(C(X; G)) 表示 (X) 到 (G) 的 (n) - 上链群，它与 (\text{Hom}(C_n(X), G)) 等同，其中 (C_n(X)) 是 (X) 的 (n) - 链群（以 (X_n) 为基的自由阿贝尔群）。边界算子 (d: C_n(X) \to C_{n - 1}(X)) 通过转置定义了一个平方为零的微分算子 (\delta: C^n(X; G) \to C^{n + 1}(X; G))，从而得到上同调群 (H^n(X; G))。当 (G) 是交换环时，经典的Whitney公式在 (C^(X; G)) 上定义了一个分次微分代数结构，进而定义了上同调代数 (H^(X; G))，它是交换的。
我们固定一个具有单位元的交换环 (k)，将 (k)
