高数强化NO22|微分方程与差分方程|一阶微分方程|高阶微分方程|方程的求解-智慧文博士

微分方程的基本概念

常微分方程

含有未知函数导数的方程称为微分方程. 其中，如果未知函数为一元函数，则称该方程为常微分方程.\begin{aligned} &\text{含有未知函数导数的方程称为微分方程. 其中，如果未知函数为一元函数，}\\&则称该方程为常微分方程. \end{aligned}含有未知函数导数的方程称为微分方程.其中，如果未知函数为一元函数，则称该方程为常微分方程.

微分方程的阶

常微分方程的一般形式为 F(x,y,y′,y′′,…,y(n))=0.其中未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶. 求解微分方程的目的是要找出这样的函数 y=φ(x)，把它代入微分方程后方程 F(x,φ(x),φ′(x),φ′′(x),…φ(n)(x))≡0 成为恒等式. \begin{aligned} &\text{常微分方程的一般形式为} \ F(x,y,y',y'',\dots,y^{(n)}) = 0. \text{其中未知函数的最高阶导数的} \\ &\text{阶数称为微分方程的阶. 求解微分方程的目的是要找出这样的函数} \ y = \varphi(x)，\text{把它代入} \\ &\text{微分方程后方程} \ F(x,\varphi(x),\varphi'(x),\varphi''(x),\dots\varphi^{(n)}(x)) \equiv 0 \ \text{成为恒等式.} \end{aligned}常微分方程的一般形式为F(x,y,y′,y′′,…,y(n))=0.其中未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶.求解微分方程的目的是要找出这样的函数y=φ(x)，把它代入微分方程后方程F(x,φ(x),φ′(x),φ′′(x),…φ(n)(x))≡0成为恒等式.

通解和特解

如果微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数等于微分方程的阶数，这样的解称为微分方程的通解. 确定了通解中的任意常数之后，就得到微分方程的特解.如果微分方程是一阶的，则确定通解中任意常数的初始条件一般是 y(x0)=y0；如果微分方程是二阶的，则确定通解中任意常数的初始条件一般是y(x0)=y0, y′(x0)=y0′. \begin{aligned} &\text{如果微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数等于微分方程的阶数，这} \\ &\text{样的解称为微分方程的通解. 确定了通解中的任意常数之后，就得到微分方程的特解.} \\ \\ &\text{如果微分方程是一阶的，则确定通解中任意常数的初始条件一般是} \ y(x_0) = y_0； \\ &\text{如果微分方程是二阶的，则确定通解中任意常数的初始条件一般是} \\ &\quad y(x_0) = y_0, \, y'(x_0) = y_0'. \end{aligned}如果微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数等于微分方程的阶数，这样的解称为微分方程的通解.确定了通解中的任意常数之后，就得到微分方程的特解.如果微分方程是一阶的，则确定通解中任意常数的初始条件一般是y(x0)=y0；如果微分方程是二阶的，则确定通解中任意常数的初始条件一般是y(x0)=y0,y′(x0)=y0′.

常见的一阶微分方程

可分离变量的微分方程

如果一个一阶微分方程可以写成 g(y)dy=f(x)dx 的形式，则称该微分方程为可分离变量的微分方程.求解方法：对该方程的两端求不定积分 ∫g(y)dy=∫f(x)dx 就得到微分方程的通解. \begin{aligned} &\text{如果一个一阶微分方程可以写成} \ g(y)dy = f(x)dx \ \text{的形式，则称该微分方程为可分} \\ &\text{离变量的微分方程.} \\ \\ &\text{求解方法：对该方程的两端求不定积分} \ \int g(y)dy = \int f(x)dx \ \text{就得到微分方程的通解.} \end{aligned}如果一个一阶微分方程可以写成g(y)dy=f(x)dx的形式，则称该微分方程为可分离变量的微分方程.求解方法：对该方程的两端求不定积分∫g(y)dy=∫f(x)dx就得到微分方程的通解.

齐次方程

求解方法：对于方程 y′=φ(yx)，令u=yx，则 y=ux.由一元函数微分学的知识，可知 dy=xdu+udx.代入原方程可得 xdudx+u=φ(u)，整理得 duφ(u)−u=dxx，则原方程就化为可分离变量的方程，求解该方程得到未知函数 u，再由 y=ux 就可以得到未知函数 y. \begin{aligned} &\text{求解方法：对于方程} \ y' = \varphi\left( \frac{y}{x} \right)，\text{令} u = \frac{y}{x}，\text{则} \ y = ux . \text{由一元函数微分学的知识，可} \\ &\text{知} \ dy = xdu + udx . \text{代入原方程可得} \ x\frac{du}{dx} + u = \varphi(u)，\text{整理得} \ \frac{du}{\varphi(u)-u} = \frac{dx}{x}，\text{则原方程} \\ &\text{就化为可分离变量的方程，求解该方程得到未知函数} \ u，\text{再由} \ y = ux \ \text{就可以得到未知} \\ &\text{函数} \ y . \end{aligned}求解方法：对于方程y′=φ(xy)，令u=xy，则y=ux.由一元函数微分学的知识，可知dy=xdu+udx.代入原方程可得xdxdu+u=φ(u)，整理得φ(u)−udu=xdx，则原方程就化为可分离变量的方程，求解该方程得到未知函数u，再由y=ux就可以得到未知函数y.

一阶线性微分方程

方程 dydx+P(x)y=Q(x) 称为一阶线性微分方程.求解方法：法一：两边同时乘以 e∫P(x)dx，得 e∫P(x)dxy′+e∫P(x)dxP(x)y=e∫P(x)dxQ(x)，其中e∫P(x)dxy′+e∫P(x)dxP(x)y=(e∫P(x)dxy)′，则 y=e−∫P(x)dx[∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C].法二：直接代通解公式： y=e−∫P(x)dx[∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C]. \begin{aligned} &\text{方程} \ \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) \ \text{称为一阶线性微分方程.} \\ \\ &\text{求解方法：} \\ &\text{法一：两边同时乘以} \ e^{\int P(x)dx}，\text{得} \ e^{\int P(x)dx} y' + e^{\int P(x)dx} P(x)y = e^{\int P(x)dx} Q(x)，\text{其中} \\ &\quad e^{\int P(x)dx} y' + e^{\int P(x)dx} P(x)y = \left( e^{\int P(x)dx} y \right)'，\text{则} \ y = e^{-\int P(x)dx} \left[ \int Q(x)e^{\int P(x)dx} dx + C \right]. \\ \\ &\text{法二：直接代通解公式：} \ y = e^{-\int P(x)dx} \left[ \int Q(x)e^{\int P(x)dx} dx + C \right]. \end{aligned}方程dxdy+P(x)y=Q(x)称为一阶线性微分方程.求解方法：法一：两边同时乘以e∫P(x)dx，得e∫P(x)dxy′+e∫P(x)dxP(x)y=e∫P(x)dxQ(x)，其中e∫P(x)dxy′+e∫P(x)dxP(x)y=(e∫P(x)dxy)′，则y=e−∫P(x)dx[∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C].法二：直接代通解公式：y=e−∫P(x)dx[∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C].

伯努利方程

方程 y′+P(x)y=Q(x)yn,(n≠0,1) 称为伯努利方程.求解方法：对于伯努利方程 y′+P(x)y=Q(x)yn,(n≠0,1)，通过变量代换化为一阶线性微分方程. 在方程两端同时除以 yn 得 y−ny′+P(x)y1−n=Q(x)，令 z=y1−n 可得z′1−n+P(x)z=Q(x)，即为一阶线性微分方程. \begin{aligned} &\text{方程} \ y' + P(x)y = Q(x)y^n,(n \neq 0,1) \ \text{称为伯努利方程.} \\ \\ &\text{求解方法：} \\ &\text{对于伯努利方程} \ y' + P(x)y = Q(x)y^n,(n \neq 0,1)，\text{通过变量代换化为一阶线性微分} \\ &\text{方程. 在方程两端同时除以} \ y^n \ \text{得} \ y^{-n}y' + P(x)y^{1-n} = Q(x)，\text{令} \ z = y^{1-n} \ \text{可得} \\ &\quad \frac{z'}{1-n} + P(x)z = Q(x)，\text{即为一阶线性微分方程.} \end{aligned}方程y′+P(x)y=Q(x)yn,(n=0,1)称为伯努利方程.求解方法：对于伯努利方程y′+P(x)y=Q(x)yn,(n=0,1)，通过变量代换化为一阶线性微分方程.在方程两端同时除以yn得y−ny′+P(x)y1−n=Q(x)，令z=y1−n可得1−nz′+P(x)z=Q(x)，即为一阶线性微分方程.

常见的高阶微分方程

二阶线性微分方程

基本概念
形如y′′+P(x)y′+Q(x)y=f(x)的微分方程，称为二阶线性微分方程. 当 f(x)≡0 时，即y′′+P(x)y′+Q(x)y=0称为二阶齐次线性微分方程；否则称为二阶非齐次线性微分方程.二阶线性微分方程的求解主要考查 P(x),Q(x) 恒为常数的情形，即二阶常系数线性微分方程，相应的齐次方程称为二阶常系数齐次线性微分方程. 二阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为y′′+py′+qy=0. \begin{aligned} &\text{形如} \\ &\quad \quad y'' + P(x)y' + Q(x)y = f(x) \\ &\text{的微分方程，称为二阶线性微分方程. 当} \ f(x) \equiv 0 \ \text{时，即} \\ &\quad \quad y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0 \\ &\text{称为二阶齐次线性微分方程；否则称为二阶非齐次线性微分方程.} \\ &\text{二阶线性微分方程的求解主要考查} \ P(x),Q(x) \ \text{恒为常数的情形，即二阶常系数线性微分方程，相应的齐次方程} \\ &\text{称为二阶常系数齐次线性微分方程. 二阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为} \\ &\quad \quad y'' + py' + qy = 0. \end{aligned}形如y′′+P(x)y′+Q(x)y=f(x)的微分方程，称为二阶线性微分方程.当f(x)≡0时，即y′′+P(x)y′+Q(x)y=0称为二阶齐次线性微分方程；否则称为二阶非齐次线性微分方程.二阶线性微分方程的求解主要考查P(x),Q(x)恒为常数的情形，即二阶常系数线性微分方程，相应的齐次方程称为二阶常系数齐次线性微分方程.二阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为y′′+py′+qy=0.
二阶线性微分方程解的结构定理
定理1：若 y1(x) 为方程（2）的解，则 ky1(x) 亦为其解；若 y1(x),y2(x) 均为（2）的解，则 y=y1(x)+y2(x) 亦为其解，进而 y=k1y1(x)+k2y2(x) 亦为其解.定理2：若 y1(x) 为方程（1）的解， y2(x) 为（2）的解，则 y=y1(x)+y2(x) 为（1）的解. 若 y1(x),y2(x) 均为（1）的解，则 y=y1(x)−y2(x) 是（2）的解.定理3（叠加原理）：设 y1(x) 是方程 y′′+P(x)y′+Q(x)y=f1(x) 的特解， y2(x) 是方程 y′′+P(x)y′+Q(x)y=f2(x) 的特解，则 y=k1y1(x)+k2y2(x) 是方程y′′+P(x)y′+Q(x)y=k1f1(x)+k2f2(x) 的解.定理4：设 y1(x),y2(x) 是方程（2）的两个线性无关的解，则 C1y1+C2y2 为（2）的通解；若还有 y∗(x) 是（1）的任一特解，则 y=C1y1(x)+C2y2(x)+y∗(x) 是(1)的通解，其中 C1,C2 为两个任意的常数.【注】非齐通 = 齐通 + 非齐特. \begin{aligned} &\text{定理1：若} \ y_1(x) \ \text{为方程（2）的解，则} \ ky_1(x) \ \text{亦为其解；若} \ y_1(x),y_2(x) \ \text{均为（2）的解，} \\ &\text{则} \ y = y_1(x)+y_2(x) \ \text{亦为其解，进而} \ y = k_1y_1(x)+k_2y_2(x) \ \text{亦为其解.} \\ \\ &\text{定理2：若} \ y_1(x) \ \text{为方程（1）的解，} \ y_2(x) \ \text{为（2）的解，则} \ y = y_1(x)+y_2(x) \ \text{为（1）} \\ &\text{的解. 若} \ y_1(x),y_2(x) \ \text{均为（1）的解，则} \ y = y_1(x)-y_2(x) \ \text{是（2）的解.} \\ \\ &\text{定理3（叠加原理）：设} \ y_1(x) \ \text{是方程} \ y''+P(x)y'+Q(x)y = f_1(x) \ \text{的特解，} \ y_2(x) \ \text{是方} \\ &\text{程} \ y''+P(x)y'+Q(x)y = f_2(x) \ \text{的特解，则} \ y = k_1y_1(x)+k_2y_2(x) \ \text{是方程} \\ &\quad y''+P(x)y'+Q(x)y = k_1f_1(x)+k_2f_2(x) \ \text{的解.} \\ \\ &\text{定理4：设} \ y_1(x),y_2(x) \ \text{是方程（2）的两个线性无关的解，则} \ C_1y_1+C_2y_2 \ \text{为（2）的通} \\ &\text{解；若还有} \ y^*(x) \ \text{是（1）的任一特解，则} \ y = C_1y_1(x)+C_2y_2(x)+y^*(x) \ \text{是(1)的通解，} \\ &\text{其中} \ C_1,C_2 \ \text{为两个任意的常数.} \\ \\ &\text{【注】非齐通 = 齐通 + 非齐特.} \end{aligned}定理1：若y1(x)为方程（2）的解，则ky1(x)亦为其解；若y1(x),y2(x)均为（2）的解，则y=y1(x)+y2(x)亦为其解，进而y=k1y1(x)+k2y2(x)亦为其解.定理2：若y1(x)为方程（1）的解，y2(x)为（2）的解，则y=y1(x)+y2(x)为（1）的解.若y1(x),y2(x)均为（1）的解，则y=y1(x)−y2(x)是（2）的解.定理3（叠加原理）：设y1(x)是方程y′′+P(x)y′+Q(x)y=f1(x)的特解，y2(x)是方程y′′+P(x)y′+Q(x)y=f2(x)的特解，则y=k1y1(x)+k2y2(x)是方程y′′+P(x)y′+Q(x)y=k1f1(x)+k2f2(x)的解.定理4：设y1(x),y2(x)是方程（2）的两个线性无关的解，则C1y1+C2y2为（2）的通解；若还有y∗(x)是（1）的任一特解，则y=C1y1(x)+C2y2(x)+y∗(x)是(1)的通解，其中C1,C2为两个任意的常数.【注】非齐通=齐通+非齐特.
求解二阶常系数齐次线性微分方程的一般步骤（二阶以上类似）
a. 写出 y′′+py′+qy=0 对应的特征方程 r2+pr+q=0.b. 求出特征方程的两个根 r1,r2.c. 根据 r1,r2 的不同形式，我们有如下的公式： \begin{aligned} &\text{a. 写出} \ y'' + py' + qy = 0 \ \text{对应的特征方程} \ r^2 + pr + q = 0. \\ \\ &\text{b. 求出特征方程的两个根} \ r_1,r_2. \\ \\ &\text{c. 根据} \ r_1,r_2 \ \text{的不同形式，我们有如下的公式：} \end{aligned}a.写出y′′+py′+qy=0对应的特征方程r2+pr+q=0.b.求出特征方程的两个根r1,r2.c.根据r1,r2的不同形式，我们有如下的公式：
r2+pr+q=0的两个根 r1,r2微分方程 y′′+py′+qy=0的通解r1,r2为两个不同实根y=C1er1x+C2er2xr1,r2为两个相同实根y=(C1+C2x)er1xr1,r2为一对共轭虚根 α±iβy=(C1cos⁡βx+C2sin⁡βx)eαx \begin{array}{|l|l|} \hline r^2 + pr + q = 0 \text{的两个根} \ r_1,r_2 & \text{微分方程} \ y'' + py' + qy = 0 \text{的通解} \\ \hline r_1,r_2 \text{为两个不同实根} & y = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x} \\ \hline r_1,r_2 \text{为两个相同实根} & y = (C_1 + C_2x)e^{r_1x} \\ \hline \hline r_1,r_2 \text{为一对共轭虚根} \ \alpha \pm i\beta & y = (C_1\cos\beta x + C_2\sin\beta x)e^{\alpha x} \\ \hline \end{array}r2+pr+q=0的两个根r1,r2r1,r2为两个不同实根r1,r2为两个相同实根r1,r2为一对共轭虚根α±iβ微分方程y′′+py′+qy=0的通解y=C1er1x+C2er2xy=(C1+C2x)er1xy=(C1cosβx+C2sinβx)eαx
求解二阶常系数非齐次线性微分方程的一般步骤（二阶以上类似）
先求出相应齐次方程的通解 C1y1(x)+C2y2(x),再求出非齐次线性方程的一个特解y∗(x)，则非齐次线性方程的通解可表示为 C1y1(x)+C2y2(x)+y∗(x).求非齐次线性方程特解主要用到如下的待定系数法：根据 f(x) 的不同形式，我们可以分别设方程的特解为如下形式，再代回原方程，得到所设特解中各项系数的值.①若 f(x)=eλxPm(x) (其中 Pm(x) 为 m 阶多项式)，令 y∗=xkQm(x)eλx，其中 k 为特征根 λ 的重数.② f(x)=eαx[Pl(1)(x)cos⁡βx+Pn(2)(x)sin⁡βx]令 y∗=xkeαx[Rm(1)(x)cos⁡βx+Rm(2)(x)sin⁡βx], m=max⁡{l,n}如果特征根为 α±iβ，则 k 为1；否则， k 为0. \begin{aligned} &\text{先求出相应齐次方程的通解} \ C_1y_1(x)+C_2y_2(x), \text{再求出非齐次线性方程的一个特解} \\ &y^*(x)，\text{则非齐次线性方程的通解可表示为} \ C_1y_1(x)+C_2y_2(x)+y^*(x). \\ \\ &\text{求非齐次线性方程特解主要用到如下的待定系数法：根据} \ f(x) \ \text{的不同形式，我们} \\ &\text{可以分别设方程的特解为如下形式，再代回原方程，得到所设特解中各项系数的值.} \\ \\ &① \text{若} \ f(x)=e^{\lambda x}P_m(x) \ (\text{其中} \ P_m(x) \ \text{为} \ m \ \text{阶多项式})， \\ &\quad \text{令} \ y^* = x^k Q_m(x)e^{\lambda x}，\text{其中} \ k \ \text{为特征根} \ \lambda \ \text{的重数.} \\ \\ &② \ f(x)=e^{\alpha x}\left[ P_l^{(1)}(x)\cos\beta x+P_n^{(2)}(x)\sin\beta x \right] \\ &\quad \text{令} \ y^* = x^k e^{\alpha x}\left[ R_m^{(1)}(x)\cos\beta x+R_m^{(2)}(x)\sin\beta x \right], \ m = \max\{l,n\} \\ &\quad \text{如果特征根为} \ \alpha \pm i\beta，则 \ k \ \text{为1；否则，} \ k \ \text{为0.} \end{aligned}先求出相应齐次方程的通解C1y1(x)+C2y2(x),再求出非齐次线性方程的一个特解y∗(x)，则非齐次线性方程的通解可表示为C1y1(x)+C2y2(x)+y∗(x).求非齐次线性方程特解主要用到如下的待定系数法：根据f(x)的不同形式，我们可以分别设方程的特解为如下形式，再代回原方程，得到所设特解中各项系数的值.①若f(x)=eλxPm(x)(其中Pm(x)为m阶多项式)，令y∗=xkQm(x)eλx，其中k为特征根λ的重数.②f(x)=eαx[Pl(1)(x)cosβx+Pn(2)(x)sinβx]令y∗=xkeαx[Rm(1)(x)cosβx+Rm(2)(x)sinβx],m=max{l,n}如果特征根为α±iβ，则k为1；否则，k为0.

可降阶的高阶微分方程

（1） y′′=f(x,y′) 型的方程作变量代换 p=y′，则有 y′′=dpdx.代入原方程有 dpdx=f(x,p)，这是一个关于变量 x,p 的一阶微分方程. 求解它，我们可以求出 p，设 p=y′=φ(x,C)，则积分可以得到 y. \begin{aligned} &\text{（1）} \ y'' = f(x,y') \ \text{型的方程} \\ \\ &\text{作变量代换} \ p = y'，\text{则有} \ y'' = \frac{dp}{dx}. \text{代入原方程有} \ \frac{dp}{dx} = f(x,p)，\text{这是一个关于变} \\ &\text{量} \ x,p \ \text{的一阶微分方程. 求解它，我们可以求出} \ p，\text{设} \ p = y' = \varphi(x,C)，\text{则积分可以} \\ &\text{得到} \ y. \end{aligned}（1）y′′=f(x,y′)型的方程作变量代换p=y′，则有y′′=dxdp.代入原方程有dxdp=f(x,p)，这是一个关于变量x,p的一阶微分方程.求解它，我们可以求出p，设p=y′=φ(x,C)，则积分可以得到y.
（2） y′′=f(y,y′) 型的方程作变量代换 p=y′，则有 y′′=dpdx=dpdy⋅dydx=dpdy⋅p.代入原方程有 pdpdy=f(y,p).这是一个关于变量 y,p 的一阶微分方程. 求解它，可以求出 p，设 p=y′=φ(y,C)，则积分可以得到 y. \begin{aligned} &\text{（2）} \ y'' = f(y,y') \ \text{型的方程} \\ \\ &\text{作变量代换} \ p = y'，\text{则有} \ y'' = \frac{dp}{dx} = \frac{dp}{dy} \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{dp}{dy} \cdot p. \text{代入原方程有} \ p \frac{dp}{dy} = f(y,p). \\ \\ &\text{这是一个关于变量} \ y,p \ \text{的一阶微分方程. 求解它，可以求出} \ p，\text{设} \ p = y' = \varphi(y,C)， \\ &\text{则积分可以得到} \ y. \end{aligned}（2）y′′=f(y,y′)型的方程作变量代换p=y′，则有y′′=dxdp=dydp⋅dxdy=dydp⋅p.代入原方程有pdydp=f(y,p).这是一个关于变量y,p的一阶微分方程.求解它，可以求出p，设p=y′=φ(y,C)，则积分可以得到y.

欧拉方程

形如 xny(n)+a1xn−1y(n−1)+a2xn−2y(n−2)+⋯+an−1xy′+any=f(x) 的方程称为欧拉方程. 其求解步骤为：若 x>0，令 x=et，则有 dydx=dydt⋅dtdx=e−tdydt=1xdydt，d2ydx2=ddx[e−tdydt]=ddt[e−tdydt]⋅dtdx=[e−td2ydt2−e−tdydt]e−t=e−2td2ydt2−e−2tdydt=1x2(d2ydt2−dydt)以此类推，将这些关系代回，则原方程可化为 n 阶常系数线性微分方程.若 x<0，则令 x=−et，类似可做. \begin{aligned} &\text{形如} \ x^n y^{(n)} + a_1x^{n-1}y^{(n-1)} + a_2x^{n-2}y^{(n-2)} + \dots + a_{n-1}xy' + a_n y = f(x) \ \text{的方程称为欧拉} \\ &\text{方程. 其求解步骤为：若} \ x>0，\text{令} \ x = e^t，\text{则有} \ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt}\cdot\frac{dt}{dx} = e^{-t}\frac{dy}{dt} = \frac{1}{x}\frac{dy}{dt}， \\ &\quad \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left[ e^{-t}\frac{dy}{dt} \right] = \frac{d}{dt}\left[ e^{-t}\frac{dy}{dt} \right]\cdot\frac{dt}{dx} = \left[ e^{-t}\frac{d^2y}{dt^2} - e^{-t}\frac{dy}{dt} \right]e^{-t} = e^{-2t}\frac{d^2y}{dt^2} - e^{-2t}\frac{dy}{dt} = \frac{1}{x^2}\left( \frac{d^2y}{dt^2} - \frac{dy}{dt} \right) \\ &\text{以此类推，将这些关系代回，则原方程可化为} \ n \ \text{阶常系数线性微分方程.} \\ \\ &\text{若} \ x<0，\text{则令} \ x = -e^t，\text{类似可做.} \end{aligned}形如xny(n)+a1xn−1y(n−1)+a2xn−2y(n−2)+⋯+an−1xy′+any=f(x)的方程称为欧拉方程.其求解步骤为：若x>0，令x=et，则有dxdy=dtdy⋅dxdt=e−tdtdy=x1dtdy，dx2d2y=dxd[e−tdtdy]=dtd[e−tdtdy]⋅dxdt=[e−tdt2d2y−e−tdtdy]e−t=e−2tdt2d2y−e−2tdtdy=x21(dt2d2y−dtdy)以此类推，将这些关系代回，则原方程可化为n阶常系数线性微分方程.若x<0，则令x=−et，类似可做.

差分方程

1.一阶常系数线性齐次差分方程 yt+1+ayt=0 通解为 yc=C⋅(−a)t，2.一阶常系数线性非齐次差分方程 yt+1+ayt=f(t) 通解为 yt=yc(t)+yt∗.其中 yt∗ 是非齐次差分方程的特解.(1) f(t)=Pm(t)1) 若 a≠−1,令 yt∗=Qm(t);2) 若 a=−1,令 yt∗=tQm(t).(2) f(t)=dt⋅Pm(t), (d≠0)1) 若 a+d≠0,令 yt∗=dt⋅Qm(t);2) 若 a+d=0,令 yt∗=tdt⋅Qm(t). \begin{aligned} &1. \text{一阶常系数线性齐次差分方程} \ y_{t+1} + a y_t = 0 \ \text{通解为} \ y_c = C \cdot (-a)^t， \\ \\ &2. \text{一阶常系数线性非齐次差分方程} \ y_{t+1} + a y_t = f(t) \ \text{通解为} \ y_t = y_c(t) + y_t^*. \text{其中} \ y_t^* \ \text{是非} \\ &\text{齐次差分方程的特解.} \\ \\ &\quad (1) \ f(t) = P_m(t) \\ &\quad \quad 1) \ \text{若} \ a \neq -1, \text{令} \ y_t^* = Q_m(t); \\ &\quad \quad 2) \ \text{若} \ a = -1, \text{令} \ y_t^* = t Q_m(t). \\ \\ &\quad (2) \ f(t) = d^t \cdot P_m(t), \ (d \neq 0) \\ &\quad \quad 1) \ \text{若} \ a + d \neq 0, \text{令} \ y_t^* = d^t \cdot Q_m(t); \\ &\quad \quad 2) \ \text{若} \ a + d = 0, \text{令} \ y_t^* = t d^t \cdot Q_m(t). \end{aligned}1.一阶常系数线性齐次差分方程yt+1+ayt=0通解为yc=C⋅(−a)t，2.一阶常系数线性非齐次差分方程yt+1+ayt=f(t)通解为yt=yc(t)+yt∗.其中yt∗是非齐次差分方程的特解.(1)f(t)=Pm(t)1)若a=−1,令yt∗=Qm(t);2)若a=−1,令yt∗=tQm(t).(2)f(t)=dt⋅Pm(t),(d=0)1)若a+d=0,令yt∗=dt⋅Qm(t);2)若a+d=0,令yt∗=tdt⋅Qm(t).

方程的求解

解：原式化为 f(x+Δx)−f(x)−2xf(x)Δx=o(Δx)得： lim⁡Δx→0f(x+Δx)−f(x)Δx−2xf(x)=lim⁡Δx→0o(Δx)Δx=0f′(x)−2xf(x)=0,法1： f(x)=C⋅e∫2xdx=C⋅ex2, f(0)=2, C=2 ⟹ f(1)=2e法2： e−x2f′(x)+e−x2(−2x)f(x)=0(e−x2f(x))′=0 ⟹ e−x2f(x)=Cf(x)=Cex2, f(0)=2, C=2 ⟹ f(1)=2e. \begin{aligned} &\text{解：原式化为} \ f(x+\Delta x)-f(x)-2xf(x)\Delta x = o(\Delta x) \\ &\text{得：} \ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} - 2xf(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{o(\Delta x)}{\Delta x} = 0 \\ \\ &\quad f'(x)-2xf(x)=0, \\ &\text{法1：} \ f(x)=C \cdot e^{\int 2x dx}=C \cdot e^{x^2}, \ f(0)=2, \ C=2 \implies f(1)=2e \\ \\ &\text{法2：} \ e^{-x^2}f'(x)+e^{-x^2}(-2x)f(x)=0 \\ &\quad \left( e^{-x^2}f(x) \right)'=0 \implies e^{-x^2}f(x)=C \\ &\quad f(x)=Ce^{x^2}, \ f(0)=2, \ C=2 \implies f(1)=2e. \end{aligned}解：原式化为f(x+Δx)−f(x)−2xf(x)Δx=o(Δx)得：Δx→0limΔxf(x+Δx)−f(x)−2xf(x)=Δx→0limΔxo(Δx)=0f′(x)−2xf(x)=0,法1：f(x)=C⋅e∫2xdx=C⋅ex2,f(0)=2,C=2⟹f(1)=2e法2：e−x2f′(x)+e−x2(−2x)f(x)=0(e−x2f(x))′=0⟹e−x2f(x)=Cf(x)=Cex2,f(0)=2,C=2⟹f(1)=2e.
【小结】看到有 o(Δx)，且有 Δx→0，考虑两侧同除 Δx 消去 o(Δx)。 \text{【小结】看到有} \ o(\Delta x)，\text{且有} \ \Delta x \to 0，\text{考虑两侧同除} \ \Delta x \ \text{消去} \ o(\Delta x)。【小结】看到有o(Δx)，且有Δx→0，考虑两侧同除Δx消去o(Δx)。

y′+y=x,exy′+exy=xex,(exy)′=xex,exy=(x−1)ex+C,y=(x−1)+Ce−x, C∈R \begin{aligned} &y' + y = x, \\ &e^x y' + e^x y = x e^x, \\ &\left( e^x y \right)' = x e^x, \\ &e^x y = (x-1)e^x + C, \\ &y = (x-1) + C e^{-x}, \ C \in \mathbb{R} \end{aligned}y′+y=x,exy′+exy=xex,(exy)′=xex,exy=(x−1)ex+C,y=(x−1)+Ce−x,C∈R
解：y(x)=e−x(∫exf(x)dx+C)=e−x(∫0xetf(t)dt+C)y(x+T)=e−(x+T)(∫0x+Tetf(t)dt+C)=u=t−Te−(x+T)(∫−Txeu+Tf(u+T)d(u+T)+C)=e−(x+T)(eT∫−Txeuf(u)du+C)=e−x(∫0xeuf(u)du+∫−T0euf(u)du)+Ce−(x+T)y(x+T)−y(x)=e−x∫−T0euf(u)du+Ce−(x+T)−Ce−x=0即当 C=∫−T0euf(u)du1−e−T 时，y(x)的周期为T. C是唯一的.故方程存在唯一的以周期为T的解. \begin{aligned} &\text{解：} y(x) = e^{-x}\left( \int e^x f(x)dx + C \right) = e^{-x}\left( \int_0^x e^t f(t)dt + C \right) \\ \\ &y(x+T) = e^{-(x+T)}\left( \int_0^{x+T} e^t f(t)dt + C \right) \xlongequal{u=t-T} e^{-(x+T)}\left( \int_{-T}^x e^{u+T} f(u+T)d(u+T) + C \right) \\ &= e^{-(x+T)}\left( e^T \int_{-T}^x e^u f(u)du + C \right) = e^{-x}\left( \int_0^x e^u f(u)du + \int_{-T}^0 e^u f(u)du \right) + C e^{-(x+T)} \\ \\ &y(x+T) - y(x) = e^{-x}\int_{-T}^0 e^u f(u)du + C e^{-(x+T)} - C e^{-x} = 0 \\ \\ &\text{即当} \ C = \frac{\int_{-T}^0 e^u f(u)du}{1 - e^{-T}} \ \text{时，} y(x) \text{的周期为} T. \ C \text{是唯一的.} \\ \\ &\text{故方程存在唯一的以周期为} T \text{的解.} \end{aligned}解：y(x)=e−x(∫exf(x)dx+C)=e−x(∫0xetf(t)dt+C)y(x+T)=e−(x+T)(∫0x+Tetf(t)dt+C)u=t−Te−(x+T)(∫−Txeu+Tf(u+T)d(u+T)+C)=e−(x+T)(eT∫−Txeuf(u)du+C)=e−x(∫0xeuf(u)du+∫−T0euf(u)du)+Ce−(x+T)y(x+T)−y(x)=e−x∫−T0euf(u)du+Ce−(x+T)−Ce−x=0即当C=1−e−T∫−T0euf(u)du时，y(x)的周期为T.C是唯一的.故方程存在唯一的以周期为T的解.

解：1. 特征方程为 λ2+2λ+1=0，λ1=λ2=−1，通解为 y=(C1+C2x)e−x.由 y(0)=0 ⟹ C1=0； y′(0)=1 ⟹ C2=1，故 y=xe−x.计算积分： ∫0+∞xe−xdx=1. \begin{aligned} &\text{解：} \\ &\text{1. 特征方程为} \ \lambda^2 + 2\lambda + 1 = 0，\lambda_1 = \lambda_2 = -1，\text{通解为} \ y = (C_1 + C_2x)e^{-x}. \\ \\ &\text{由} \ y(0) = 0 \implies C_1 = 0；\ y'(0) = 1 \implies C_2 = 1，\text{故} \ y = xe^{-x}. \\ &\text{计算积分：} \ \int_0^{+\infty} xe^{-x}dx = 1. \end{aligned}解：1.特征方程为λ2+2λ+1=0，λ1=λ2=−1，通解为y=(C1+C2x)e−x.由y(0)=0⟹C1=0；y′(0)=1⟹C2=1，故y=xe−x.计算积分：∫0+∞xe−xdx=1.
法2： ∫0+∞y(x)dx=∫0+∞(−y′′(x)−2y′(x))dx=(−y′(x)−2y(x))∣0+∞=(−y′(+∞)−2y(+∞))−(−y′(0)−2y(0))=0−(−1−2⋅0)=1 \begin{aligned} &\text{法2：} \ \int_0^{+\infty} y(x)dx = \int_0^{+\infty} \left( -y''(x) - 2y'(x) \right)dx = \left. \left( -y'(x) - 2y(x) \right) \right|_0^{+\infty} \\ &= \left( -y'(+\infty) - 2y(+\infty) \right) - \left( -y'(0) - 2y(0) \right) = 0 - \left( -1 - 2 \cdot 0 \right) = 1 \end{aligned}法2：∫0+∞y(x)dx=∫0+∞(−y′′(x)−2y′(x))dx=(−y′(x)−2y(x))∣0+∞=(−y′(+∞)−2y(+∞))−(−y′(0)−2y(0))=0−(−1−2⋅0)=1
【小结】如果函数 f(x) 是方程 y′′+ay′+by=0 的解，且满足 a>0,b>0，则有lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞f′(x)=0。 \begin{aligned} &\text{【小结】如果函数} \ f(x) \ \text{是方程} \ y'' + ay' + by = 0 \ \text{的解，且满足} \ a>0,b>0，\text{则有} \\ &\quad \lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} f'(x) = 0。 \end{aligned}【小结】如果函数f(x)是方程y′′+ay′+by=0的解，且满足a>0,b>0，则有x→+∞limf(x)=x→+∞limf′(x)=0。
小结论证明：韦达定理，对于 ax2+bx+c，x1+x2=−ba, x1⋅x2=ca此处 x1+x2=−a, x1⋅x2=b>0，故 x1<0, x2<0.因此 lim⁡x→+∞y(x)=0, lim⁡x→+∞y′(x)=0 \begin{aligned} &\text{小结论证明：韦达定理，对于} \ ax^2+bx+c，x_1+x_2=-\frac{b}{a}, \ x_1 \cdot x_2=\frac{c}{a} \\ \\ &\text{此处} \ x_1+x_2=-a, \ x_1 \cdot x_2=b>0，\text{故} \ x_1<0, \ x_2<0. \\ \\ &\text{因此} \ \lim_{x \to +\infty} y(x)=0, \ \lim_{x \to +\infty} y'(x)=0 \end{aligned}小结论证明：韦达定理，对于ax2+bx+c，x1+x2=−ab,x1⋅x2=ac此处x1+x2=−a,x1⋅x2=b>0，故x1<0,x2<0.因此x→+∞limy(x)=0,x→+∞limy′(x)=0

解： ∫0+∞f(x)dx=∫0+∞(−f′′(x)−af′(x))dx=(−f′(x)−af(x))∣0+∞=0−(−f′(0)−af(0))=n+am. \begin{aligned} &\text{解：} \ \int_0^{+\infty} f(x)dx = \int_0^{+\infty} \left( -f''(x) - a f'(x) \right)dx \\ &= \left. \left( -f'(x) - a f(x) \right) \right|_0^{+\infty} = 0 - \left( -f'(0) - a f(0) \right) \\ &= n + a m. \end{aligned}解：∫0+∞f(x)dx=∫0+∞(−f′′(x)−af′(x))dx=(−f′(x)−af(x))∣0+∞=0−(−f′(0)−af(0))=n+am.